Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ ME vuông góc với AC và MF vuông góc với AB. Tứ giác AEMF là hình gì?

a. Tứ giác AEMF là hình chữ nhật. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, M là trung điểm của BC. Khi đó, ta có ME vuông góc với AC và MF vuông góc với AB. Vì AM là đường cao của tam giác ABC, nên ME = MF. Vì vậy, tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b. Để F là trung điểm của MN, ta lấy N là điểm đối xứng của M qua F. Khi đó, ta có FM = FN và MF vuông góc với AB. Vì M là trung điểm của BC, nên MN song song với BC và MN = BC/2. Vì vậy, tứ giác AMBN là hình thoi. Từ đó, ta có AB = AM = AN và BM = BN.

c. Để tứ giác AMBN là hình vuông, ta cần có AM = AB và BM = BN. Tức là tam giác ABC cần là tam giác đều.