Cho các số x,y không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn: x² + 4y² = 6xy. Viết đa thức biểu thị (x + 2y)² và (x - 2y)² theo tích xy

a) Để viết đa thức biểu thị (x + 2y)² và (x - 2y)² theo tích xy, ta sử dụng công thức khai triển đa thức bậc 2:

(x + 2y)² = x² + 4xy + 4y²
(x - 2y)² = x² - 4xy + 4y²

b) Để chứng minh giá trị của phân thức (x + 2y)²/(x - 2y)² không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y, ta thực hiện các bước sau:

Giả sử tồn tại hai bộ số (x₁, y₁) và (x₂, y₂) sao cho (x₁ + 2y₁)²/(x₁ - 2y₁)² ≠ (x₂ + 2y₂)²/(x₂ - 2y₂)².

Ta có:
(x₁ + 2y₁)²/(x₁ - 2y₁)² ≠ (x₂ + 2y₂)²/(x₂ - 2y₂)²
⇔ (x₁ + 2y₁)²(x₂ - 2y₂)² ≠ (x₂ + 2y₂)²(x₁ - 2y₁)²
⇔ (x₁² + 4x₁y₁ + 4y₁²)(x₂² - 4x₂y₂ + 4y₂²) ≠ (x₂² + 4x₂y₂ + 4y₂²)(x₁² - 4x₁y₁ + 4y₁²)
⇔ x₁²x₂² - 4x₁²y₂ + 4x₁²y₁ - 16x₁y₁y₂ + 16y₁²y₂ ≠ x₂²x₁² - 4x₂²y₁ + 4x₂²y₂ - 16x₂y₂y₁ + 16y₂²y₁
⇔ x₁²x₂² - 4x₁²y₂ + 4x₁²y₁ - 16x₁y₁y₂ + 16y₁²y₂ ≠ x₂²x₁² - 4x₂²y₁ + 4x₂²y₂ - 16x₂y₂y₁ + 16y₂²y₁
⇔ x₁²x₂² - x₁²y₂ - x₂²y₁ + y₁² - y₂² ≠ x₂²x₁² - x₂²y₁ - x₁²y₂ + y₂² - y₁²
⇔ x₁²x₂² - x₁²y₂ - x₂²y₁ + y₁² - y₂² ≠ x₂²x₁² - x₂²y₁ - x₁²y₂ + y₂² - y₁²
⇔ 0 ≠ 0

Vì phương trình cuối cùng không đúng, suy ra giả sử ban đầu là sai. Do đó, giá trị của phân thức (x + 2y)²/(x - 2y)² không phụ thuộc vào giá trị của các biến x, y.