Tìm tất cả các số tự nhiên n để b = 1 + 2 + 2 mũ 2 + ... + 2^2020 - 1 là số nguyên tố b chứng minh rằng tồn tại 2023 số tự nhiên liên tiếp mà tất cả các số đều là hợp số nếu nhận định tổng quát và chứng minh nhận định đó

Để giải quyết câu này, ta cần chứng minh một số nhận định tổng quát và sau đó sử dụng nhận định đó để chứng minh rằng tồn tại 2023 số tự nhiên liên tiếp mà tất cả các số đều là hợp số.

Nhận định tổng quát: Với mọi số tự nhiên n, ta có thể biểu diễn số b = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n-1 - 1 dưới dạng b = 2^n - 1.

Chứng minh nhận định tổng quát:
Ta sẽ chứng minh nhận định tổng quát bằng phương pháp quy nạp.

Bước cơ sở: Với n = 1, ta có b = 2^1 - 1 = 1, đúng theo nhận định tổng quát.

Bước giả sử: Giả sử nhận định tổng quát đúng với mọi số tự nhiên k, tức là b = 2^k - 1.

Bước bước chứng minh: Ta sẽ chứng minh nhận định tổng quát đúng với số tự nhiên k+1.

Khi đó, ta có b' = 2^(k+1) - 1 = 2*(2^k) - 1 = 2*(2^k - 1) + 1.

Vì theo giả sử, b = 2^k - 1, nên b' = 2*(b + 1) + 1 = 2b + 3.

Vậy, ta đã chứng minh được nhận định tổng quát.

Áp dụng nhận định tổng quát để chứng minh rằng tồn tại 2023 số tự nhiên liên tiếp mà tất cả các số đều là hợp số:

Ta biết rằng b = 2^2020 - 1 là số nguyên tố. Vì vậy, theo nhận định tổng quát, ta có thể biểu diễn b dưới dạng b = 2^n - 1 với một số tự nhiên n.

Từ đó, ta có 2^n - 1 = 2^2020 - 1, suy ra n = 2020.

Vậy, ta đã tìm được số tự nhiên n = 2020 thỏa mãn điều kiện b = 2^n - 1 là số nguyên tố.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng tồn tại 2023 số tự nhiên liên tiếp mà tất cả các số đều là hợp số.

Xét dãy số a = b + 2, a + 2, a + 4, ..., a + 2022*2.

Ta có a = b + 2 = 2^n - 1 + 2 = 2^n + 1.

Vì n = 2020, nên a = 2^2020 + 1.

Ta sẽ chứng minh rằng tất cả các số trong dãy a, a + 2, a + 4, ..., a + 2022*2 đều là hợp số.

Giả sử tồn tại một số trong dãy trên là số nguyên tố. Khi đó, số đó phải là số lẻ, vì a là số chẵn.

Vì vậy, ta có a + 2, a + 4, ..., a + 2022*2 đều là số chẵn.

Như vậy, tất cả các số trong dãy a, a + 2, a + 4, ..., a + 2022*2 đều là hợp số.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tồn tại 2023 số tự nhiên liên tiếp mà tất cả các số đều là hợp số.