Để chứng minh rằng 1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^99 chia hết cho 40, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ.

Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Ta thấy rằng 3 không chia hết cho 2 và 5, vì vậy ta có thể áp dụng định lý Fermat nhỏ cho 3.

Ta có:
3^1 ≡ 3 (mod 40)
3^2 ≡ 9 (mod 40)
3^3 ≡ 27 (mod 40)
3^4 ≡ 81 ≡ 1 (mod 40)
3^5 ≡ 3 * 3^4 ≡ 3 (mod 40)
3^6 ≡ 3^2 ≡ 9 (mod 40)
3^7 ≡ 3 * 3^6 ≡ 27 (mod 40)
3^8 ≡ 3^4 ≡ 1 (mod 40)
...

Ta thấy rằng chu kỳ của 3^k (mod 40) là 4, vì vậy ta có thể viết lại dãy số ban đầu như sau:
1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^99 ≡ 1 + 9 + 27 + 1 + 3 + 9 + 27 + 1 + ... + 1 (mod 40)

Ta có 99 số 1 và 99 số 3, vậy tổng trên có 99 số 1 và 99 số 3.

99 số 1 ≡ 99 (mod 40)
99 số 3 ≡ 99 * 3 ≡ 17 (mod 40)

Vậy ta có:
1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^99 ≡ 99 + 17 ≡ 116 ≡ 0 (mod 40)

Vậy ta kết luận rằng 1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + ... + 3^99 chia hết cho 40.