Tìm nghiệm của phương trình  2x^2 - y^2 + xy - 8x - 5y + 3 = 0

Để tìm nghiệm của phương trình 2x^2 - y^2 + xy - 8x - 5y + 3 = 0, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Đầu tiên, ta nhóm các thành phần chứa x lại và các thành phần chứa y lại:

(2x^2 + xy - 8x) - (y^2 + 5y - 3) = 0

Tiếp theo, ta cần hoàn thành khối vuông cho cả hai nhóm thành phần này.

Đối với nhóm thành phần chứa x, ta có:

2x^2 + xy - 8x = x(2x + y - 8)

Để hoàn thành khối vuông, ta cần thêm vào một số hạng để biểu thức trở thành bình phương của một biểu thức tuyến tính. Để làm điều này, ta cần thêm vào (y/2)^2:

x(2x + y - 8) + (y/2)^2 = (2x + y - 4)^2 - 16

Tương tự, đối với nhóm thành phần chứa y, ta có:

y^2 + 5y - 3 = (y + 3)(y - 1)

Ta có thể viết lại phương trình ban đầu như sau:

(2x + y - 4)^2 - 16 - (y + 3)(y - 1) = 0

Đặt t = 2x + y - 4, ta có:

t^2 - 16 - (y + 3)(y - 1) = 0

Đặt u = y + 3, ta có:

t^2 - 16 - u(u - 4) = 0

Đặt v = u - 2, ta có:

t^2 - 16 - (v + 2)(v - 2) = 0

t^2 - 16 - (v^2 - 4) = 0

t^2 - v^2 - 12 = 0

(t - v)(t + v) - 12 = 0

(t - v)(t + v) = 12

Để tìm nghiệm của phương trình ban đầu, ta cần tìm các giá trị của t và v thỏa mãn phương trình trên.

Ta có thể chọn t và v sao cho (t - v) = 1 và (t + v) = 12 hoặc (t - v) = 2 và (t + v) = 6.

Giải hệ phương trình này, ta có:

(t - v) = 1 và (t + v) = 12 => t = 6, v = 5

(t - v) = 2 và (t + v) = 6 => t = 4, v = 1

Đặt lại các biểu thức cho t và v bằng các biến ban đầu, ta có:

2x + y - 4 = 6, y + 3 = 5 => 2x + y = 10, y = 2 => x = 4

2x + y - 4 = 4, y + 3 = 1 => 2x + y = 8, y = -2 => x = 5

Vậy, phương trình có hai nghiệm là (4, 2) và (5, -2).