Để chứng minh EFGH là hình vuông, ta cần chứng minh các cạnh của nó bằng nhau và các góc của nó bằng nhau.

Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông ABCD.

Ta có:
AE = BF = CG = DH = x/4 (vì AE = BF = CG = DH = 1/4 AB)

Vì AE = BF = CG = DH, nên ta có thể kết luận rằng tam giác AEB, BFC, CGD, DHA là các tam giác đồng dạng.

Do đó, ta có:
∠AEB = ∠BFC = ∠CGD = ∠DHA (các góc ở đỉnh của các tam giác đồng dạng)

Vì ∠AEB + ∠BFC + ∠CGD + ∠DHA = 360° (tổng các góc của một hình vuông), nên ta có:
∠AEB + ∠BFC + ∠CGD + ∠DHA = 360°
4∠AEB = 360°
∠AEB = 90°

Tương tự, ta có:
∠BFC = ∠CGD = ∠DHA = 90°

Vậy, ta đã chứng minh được các góc của hình vuông EFGH bằng nhau.

Tiếp theo, ta cần chứng minh các cạnh của EFGH bằng nhau.

Ta có:
AE = BF = CG = DH = x/4

Vì AE = BF = CG = DH, nên ta có thể kết luận rằng tam giác AEB, BFC, CGD, DHA là các tam giác đồng dạng.

Do đó, ta có:
AB/EB = BC/FC = CD/GD = DA/HA (điều này là do các tam giác đồng dạng)

Vì AB = BC = CD = DA (vì ABCD là hình vuông), nên ta có:
AB/EB = BC/FC = CD/GD = DA/HA = x/x/4 = 4

Từ đó, ta có:
EB = FC = GD = HA = x/4

Vậy, ta đã chứng minh được các cạnh của hình vuông EFGH bằng nhau.

Từ đây, ta có thể kết luận rằng EFGH là hình vuông, với các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.