Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Đầu tiên, ta kiểm tra điều kiện đúng với n = 0:
3^(4*0+1) + 2^(4*0+1) = 3^1 + 2^1 = 3 + 2 = 5, là số chia hết cho 5.

Giả sử đúng với n = k, tức là 3^(4k+1) + 2^(4k+1) chia hết cho 5.

Ta cần chứng minh đúng với n = k + 1, tức là 3^(4(k+1)+1) + 2^(4(k+1)+1) chia hết cho 5.

Ta có:
3^(4(k+1)+1) + 2^(4(k+1)+1) = 3^(4k+5) + 2^(4k+5)
= 3^(4k+1) * 3^4 + 2^(4k+1) * 2^4
= (3^(4k+1) + 2^(4k+1)) * (3^4 + 2^4)
= (3^(4k+1) + 2^(4k+1)) * (81 + 16)
= (3^(4k+1) + 2^(4k+1)) * 97

Vì 3^(4k+1) + 2^(4k+1) chia hết cho 5 theo giả thiết quy nạp, và 97 cũng chia hết cho 5, nên (3^(4k+1) + 2^(4k+1)) * 97 chia hết cho 5.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng 3^(4n+1) + 2^(4n+1) chia hết cho 5 với mọi số nguyên dương n.