Cho tam giác MNP vuông tại M, đường cao MK, biết NP= 13cm, PK = 9cm

a) Ta có tam giác MNP vuông tại M, với NP = 13cm và PK = 9cm.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông MNP, ta có:
MN^2 = MP^2 + NP^2
MN^2 = MP^2 + 13^2
MN^2 = MP^2 + 169

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông MPK, ta có:
MK^2 = MP^2 + PK^2
MK^2 = MP^2 + 9^2
MK^2 = MP^2 + 81

Giải hệ phương trình trên, ta có:
MN^2 - MP^2 = 169
MK^2 - MP^2 = 81

Trừ hai phương trình trên, ta có:
MN^2 - MK^2 = 88
(MN + MK)(MN - MK) = 88

Vì MN > MK, nên ta có:
MN + MK = 88
MN - MK = 1

Giải hệ phương trình trên, ta có:
MN = (88 + 1)/2 = 44.5cm
MK = (88 - 1)/2 = 43.5cm

Vậy MN = 44.5cm, MP = 43.5cm, MK = 43.5cm.

b) Góc P là góc giữa đường cao MK và cạnh NP. Áp dụng công thức sin trong tam giác vuông MPK, ta có:
sin(P) = PK/MK
sin(P) = 9/43.5
P = arcsin(9/43.5) ≈ 11.9°

Vậy góc P ≈ 11.9°.

c) Ta có tam giác vuông MNP với đường cao MK. Gọi I là một điểm trên cạnh MN (I khác M và N). Gọi Q là hình chiếu của M lên IP.

Ta cần chứng minh PQ = PI = PN = PK.

Vì tam giác MNP vuông tại M, nên PI là đường cao của tam giác MPN. Vì vậy, PI = PN.

Vì tam giác MPK vuông tại M, nên PQ là đường cao của tam giác MPK. Vì vậy, PQ = PK.

Vậy ta có PQ = PI = PN = PK.