Giải phương trình lượng giác

Để giải phương trình lượng giác 4sin^2x - 12cosx + 9 = 0, ta sẽ sử dụng các công thức quan hệ giữa sin và cos để chuyển đổi phương trình.

Đầu tiên, ta sẽ sử dụng công thức sin^2x + cos^2x = 1 để thay thế sin^2x bằng 1 - cos^2x:

4(1 - cos^2x) - 12cosx + 9 = 0

Tiếp theo, ta sẽ đặt cosx = t để thu được một phương trình bậc hai:

4 - 4cos^2x - 12cosx + 9 = 0

-4cos^2x - 12cosx + 13 = 0

Để giải phương trình này, ta sẽ sử dụng công thức giải phương trình bậc hai:

cosx = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Trong đó, a = -4, b = -12 và c = 13.

cosx = (12 ± √((-12)^2 - 4(-4)(13))) / (2(-4))

cosx = (12 ± √(144 + 208)) / (-8)

cosx = (12 ± √352) / (-8)

cosx = (12 ± 2√88) / (-8)

cosx = (12 ± 2√(16 * 22)) / (-8)

cosx = (12 ± 8√22) / (-8)

cosx = -3/2 ± √22

Vì -1 ≤ cosx ≤ 1, nên ta chỉ lấy giá trị của cosx trong khoảng này:

cosx = -3/2 + √22

Để tìm giá trị của sinx, ta sử dụng công thức sin^2x + cos^2x = 1:

sin^2x = 1 - cos^2x

sin^2x = 1 - (-3/2 + √22)^2

sin^2x = 1 - (9/4 - 3√22 + 22)

sin^2x = 1 - (31/4 - 3√22)

sin^2x = 1 - 31/4 + 3√22

sin^2x = 4/4 - 31/4 + 3√22

sin^2x = -27/4 + 3√22

Vì sinx ≥ 0, nên ta chỉ lấy giá trị của sinx trong khoảng này:

sinx = √(-27/4 + 3√22)

Vậy, giải phương trình lượng giác 4sin^2x - 12cosx + 9 = 0, ta có cosx = -3/2 + √22 và sinx = √(-27/4 + 3√22).