Để chứng minh rằng A chia hết cho 14, ta cần chứng minh rằng tổng các số hạng của dãy số 2^n từ 2 đến 2^201 chia hết cho 14.

Ta có công thức tổng của dãy số hạng là: S = (a * (r^n - 1)) / (r - 1), trong đó a là số hạng đầu tiên, r là công bội và n là số lượng số hạng.

Trong trường hợp này, a = 2, r = 2 và n = 201, ta có:

S = (2 * (2^201 - 1)) / (2 - 1)
= 2 * (2^201 - 1)

Ta cần chứng minh rằng S chia hết cho 14. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng S chia hết cho cả 2 và 7.

Chứng minh rằng S chia hết cho 2:
Ta biết rằng 2^201 chia hết cho 2, do đó (2^201 - 1) cũng chia hết cho 2. Vì vậy, S = 2 * (2^201 - 1) chia hết cho 2.

Chứng minh rằng S chia hết cho 7:
Ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ để chứng minh rằng 2^6 ≡ 1 (mod 7). Điều này có nghĩa là 2^201 ≡ 2^(6*33 + 3) ≡ (2^6)^33 * 2^3 ≡ 1^33 * 8 ≡ 8 ≡ 1 (mod 7).

Vì vậy, (2^201 - 1) chia hết cho 7. Do đó, S = 2 * (2^201 - 1) chia hết cho 7.

Vì S chia hết cho cả 2 và 7, nên S chia hết cho 2 * 7 = 14.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng A chia hết cho 14.