Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức p, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, ta sẽ giải quyết điều kiện (\sqrt(a)+1).(\sqrt(b)+1) >= 4.

Ta có (\sqrt(a)+1).(\sqrt(b)+1) = \sqrt(ab) + \sqrt(a) + \sqrt(b) + 1 >= 4.

Đặt t = \sqrt(ab), ta có t + \sqrt(a) + \sqrt(b) + 1 >= 4.

Từ đó, ta có t >= 3 - \sqrt(a) - \sqrt(b).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của t, ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của \sqrt(a) + \sqrt(b).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\sqrt(a) + \sqrt(b) >= 2\sqrt(\sqrt(a).\sqrt(b)) = 2\sqrt(\sqrt(ab)) = 2\sqrt(t).

Vậy, ta có t >= 3 - 2\sqrt(t).

Đặt f(t) = t + 2\sqrt(t) - 3.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của f(t), ta sẽ tìm điểm cực tiểu của hàm số f(t).

Đạo hàm của f(t) là f'(t) = 1 + \frac{1}{\sqrt(t)}.

Điểm cực tiểu của f(t) xảy ra khi f'(t) = 0.

Từ đó, ta có 1 + \frac{1}{\sqrt(t)} = 0.

Suy ra \sqrt(t) = -1, nhưng vì t là một số thực dương, nên không có giá trị thỏa mãn.

Vậy, f(t) không có điểm cực tiểu.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của f(t) xảy ra khi t tiến đến vô cùng.

Khi t tiến đến vô cùng, ta có p = \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} tiến đến vô cùng.

Vậy, không có giá trị nhỏ nhất của biểu thức p.