Cho tam giác DEF vuông tại D. Trung điểm DM, gọi I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống DF, DE. Chứng minh hai tam giác ÌM và KEM bằng nhau

a) Ta có \(DM\) là trung tuyến của tam giác \(DEF\), nên \(DM\) cắt \(EF\) tại điểm \(N\) sao cho \(EN = NF\). Vì \(DM\) là trung tuyến, nên \(DN = NM\).

Ta có \(\angle IMF = \angle NMF\) (cùng là góc nhọn), \(\angle MIF = \angle MDF\) (cùng là góc vuông), nên tam giác \(IMF\) và \(NMF\) là hai tam giác cân có cạnh bằng nhau, từ đó suy ra \(IM = MN\).

Tương tự, ta có \(\angle KME = \angle NME\) (cùng là góc nhọn), \(\angle MKE = \angle MDE\) (cùng là góc vuông), nên tam giác \(KME\) và \(NME\) là hai tam giác cân có cạnh bằng nhau, từ đó suy ra \(KM = MN\).

Vậy hai tam giác \(IMF\) và \(KEM\) là hai tam giác cân có cạnh bằng nhau.

b) Ta có \(IM = MN\) và \(KM = MN\), nên \(IM = KM\).

Từ đó suy ra \(IM \parallel KM\) và \(IM = KM\), nên tứ giác \(IDKM\) là một hình chữ nhật.

c) Vì \(I\) là trung điểm của \(MN\), nên \(IM = IN\).

Ta có \(IM = MN\) (đã chứng minh ở câu a), nên \(IM = IN = MN\).

Từ đó suy ra \(IM \parallel DN\) và \(IM = DN\), nên tứ giác \(DEMN\) là một hình bình hành.

d) Ta có \(IM = MN\) (đã chứng minh ở câu a), \(MF = NF\) (cùng là cạnh của tam giác cân \(IMF\)), nên \(IM = MF = MN = NF\).

Từ đó suy ra tứ giác \(DMFN\) là một hình thoi.

e) Nếu \(DE = DF\), ta có \(IM = MN\) (đã chứng minh ở câu a), \(MF = NF\) (cùng là cạnh của tam giác cân \(IMF\)), nên \(IM = MF = MN = NF\).

Từ đó suy ra tứ giác \(DMFN\) là một hình vuông.