a) Ta có:
- Vì A, M thuộc đường tròn O nên OA = OM.
- Góc OEA = 90° (do EA là tiếp tuyến của đường tròn O tại A).
- Góc OMA = 90° (do MP vuông góc AB).
- Vậy tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp trong đường tròn O.
- Do đó, 4 điểm A, E, O, M cùng thuộc đường tròn.
- Đường thẳng đi qua 2 điểm trên đường tròn cắt nhau tại 2 điểm, nên ta có thể xác định tâm của đường tròn bằng cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 điểm đó. Vì vậy, ta có thể xác định tâm của đường tròn O bằng cách vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AM.
b) Ta có:
- Vì A, M thuộc đường tròn O nên OA = OM.
- Góc OEA = 90° (do EA là tiếp tuyến của đường tròn O tại A).
- Góc OMA = 90° (do MP vuông góc AB).
- Vậy tứ giác AEMO là tứ giác nội tiếp trong đường tròn O.
- Do đó, góc OME = góc OAE (cùng chắn cung AM).
- Vì góc OEA = 90°, nên góc OAE = 90° - góc EAM.
- Ta có góc EAM = góc EMA (cùng chắn cung AE).
- Vậy góc OME = góc EMA.
- Do đó, tam giác OME cân tại O.
- Vậy OE là trung trực của AM.
- Ta có góc OEA = 90°, nên tam giác OEA vuông tại E.
- Vậy OI là đường cao của tam giác OEA.
- Do tam giác OEA vuông tại E, nên OI là đường trung bình của tam giác OEA.
- Vậy OI = OE.
- Ta có góc OEA = 90°, nên tam giác OEA vuông tại E.
- Vậy OI là đường cao của tam giác OEA.
- Do tam giác OEA vuông tại E, nên OI là đường trung bình của tam giác OEA.
- Vậy OI = OE = AB/2.
- Vậy OI . OE = (AB/2) . (AB/2) = AB^2/4.
c) Ta có:
- Vì OI = OE và OI . OE = AB^2/4, nên tam giác OIE là tam giác vuông cân.
- Vậy góc OIE = 45°.
- Ta có góc OEA = 90°, nên tam giác OEA vuông tại E.
- Vậy góc OEA = 90° - góc EAM = 90° - góc EMA.
- Ta có góc EMA = góc EAM (cùng chắn cung AE).
- Vậy góc OEA = 90° - góc EMA = 90° - góc OME.
- Vậy góc OEA + góc OIE = 90°.
- Vậy 3 điểm Q, I, P thẳng hàng.
d) Ta có:
- Vì OI = OE và OI . OE = AB^2/4, nên tam giác OIE là tam giác vuông cân.
- Vậy góc OIE = 45°.
- Góc OMA = 90° (do MP vuông góc AB).
- Vậy góc OMA + góc OIE = 90° + 45° = 135°.
- Ta có góc OME = góc OEA (cùng chắn cung AM).
- Vậy góc OME = góc OEA = góc OMA + góc AME = 135° + góc AME.
- Vậy góc AME = góc OME - 135°.
- Góc AME = góc OME - 135° = 45° - 135° = -90°.
- Vậy góc AME = -90°.
- Ta có góc KME = góc AME = -90°.
- Vậy góc KME = -90°.
- Góc KME = -90°, nên KM vuông góc với ME.
- Vậy K là trung điểm của MP.