a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên đường cao AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC. Vì vậy, ta có AM = MC và AN = NB.
Từ đó, ta có:
AM = MC
AN = NB
HM = MH (vì HM vuông góc với AB)
HN = NH (vì HN vuông góc với AC)
Vậy, ta có tứ giác AMHN là tứ giác cân.

b) Gọi D là trung điểm của DH và E là trung điểm của EH.
Ta có:
DM = MH (vì M là trung điểm của DH)
EN = NH (vì N là trung điểm của EH)
Vậy, ta có tứ giác AMNE là tứ giác cân.

c) Ta có:
BC là cạnh huyền của tam giác ABC (vì tam giác ABC vuông tại A)
BD là cạnh huyền của tam giác BHD (vì tam giác BHD vuông tại D)
CE là cạnh huyền của tam giác CHE (vì tam giác CHE vuông tại E)
BH là cạnh huyền của tam giác BHC (vì tam giác BHC vuông tại H)
HC là cạnh huyền của tam giác HCN (vì tam giác HCN vuông tại N)
Theo định lý Pythagoras, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2
BD^2 = BH^2 + DH^2
CE^2 = CH^2 + EH^2
Vậy, ta có:
BC^2 = BD^2 + CE^2 + 2BH.HC