Cho tam giác ABC vuông tại A,trung tuyến AD. Vẽ từ D các đường thẳng song song với AB và AC, cắt cạnh AC và AB lần lượt tại F và E

a) Để chứng minh tứ giác AEDF là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối nhau của tứ giác này là song song và bằng nhau.

Ta có:
- Đường thẳng EF song song với AB (do EF và AB là hai đường thẳng song song với AC và cắt AC tại hai điểm F và E).
- Đường thẳng DF song song với AC (do DF và AC là hai đường thẳng song song với AB và cắt AB tại hai điểm D và F).

Vậy tứ giác AEDF là hình bình hành.

b) Ta có:
- AD là trung tuyến của tam giác ABC, nên AD = 1/2 BC.
- EF song song với AB và AC, nên EF cắt AB và AC thành hai đoạn thẳng bằng nhau, tức là EF = AB = AC.

Vậy AD = EF = BC/2 = 10/2 = 5 cm.

c) Để tứ giác AEDF là hình vuông, ta cần chứng minh AD = EF và góc A bằng góc E hoặc góc F.

Ta đã chứng minh ở câu b) rằng AD = EF. Để chứng minh góc A bằng góc E hoặc góc F, ta cần chứng minh tứ giác AEDF là hình bình hành.

Vậy vị trí của D trên cạnh BC để tứ giác AEDF là hình vuông là khi D nằm ở giữa hai đầu mút của cạnh BC.

d) Gọi K là giao điểm của CE và AD.

Ta có:
- EF song song với AB và AC, nên EF cắt AB và AC thành hai đoạn thẳng bằng nhau, tức là EF = AB = AC.
- DK song song với AB và AC, nên DK cắt AB và AC thành hai đoạn thẳng bằng nhau, tức là DK = AB = AC.

Vậy EF = DK.

Do đó, EF = B = DK - AD.