Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AB,AC lần lượt lấy các điểm D,E

Để chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Ta có tam giác ABC vuông tại A, vậy góc BAC = 90 độ.

Gọi I là trung điểm của AC. Ta có AI = IC (do I là trung điểm của AC).

Vì M là trung điểm của DE, nên DM = ME.

Vì N là trung điểm của EB, nên EN = NB.

Vì P là trung điểm của BC, nên BP = PC.

Vì Q là trung điểm của CD, nên CQ = QD.

Ta sẽ chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Vì M là trung điểm của DE, nên DM = ME. (1)

Vì N là trung điểm của EB, nên EN = NB. (2)

Vì P là trung điểm của BC, nên BP = PC. (3)

Vì Q là trung điểm của CD, nên CQ = QD. (4)

Từ (1) và (2), ta có DM = EN.

Từ (3) và (4), ta có BP = CQ.

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Để chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

Vì MNPQ là hình chữ nhật, nên góc MNQ = 90 độ.

Vì MNPQ là hình chữ nhật, nên góc MPN = 90 độ.

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.

Do đó, 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.