Để tìm số dư của 2^90 khi chia cho 7, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ:

Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) ≡ 1 (mod p).

Trong trường hợp này, p = 7 và a = 2. Ta biết rằng 7 là số nguyên tố và 2 không chia hết cho 7. Áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta có:

2^(7-1) ≡ 1 (mod 7)
2^6 ≡ 1 (mod 7)

Điều này có nghĩa là 2^6 có cùng số dư khi chia cho 7 như 1. Ta có thể viết 2^6 = 7k + 1, với k là một số nguyên.

Bây giờ, ta muốn tính 2^90. Ta có thể viết 2^90 = (2^6)^15 = (7k + 1)^15.

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

(7k + 1)^15 = C(15, 0)*(7k)^15 + C(15, 1)*(7k)^14 + ... + C(15, 14)*(7k) + C(15, 15)

Vì mỗi số hạng trong dãy trên đều chứa 7k, nên chúng sẽ có cùng số dư khi chia cho 7 như (7k)^15. Do đó, ta chỉ quan tâm đến số dư của (7k)^15 khi chia cho 7.

(7k)^15 ≡ (0^15) ≡ 0 (mod 7)

Vậy, số dư của 2^90 khi chia cho 7 là 0.