Chứng minh OA là trung trực của đoạn thẳng BC và AB' = AH. AO:

• Ta biết rằng, đối với một đường tròn, tiếp tuyến tại điểm tiếp điểm chia tiếp tuyến thành hai phần bằng nhau. Từ đó, ta có:

  ∠OBA = ∠OCA (Do AB và AC là tiếp tuyến)

  ∠OAB = ∠OCA (Do AB và AC là tiếp tuyến)

• Điều này dẫn đến ∆OAB và ∆OCA đồng dạng.

• Khi đó, ta có tỉ số các cạnh:

  OA/OB = CA/CO (bởi ∆OAB ~ ∆OCA)

  OA/OB = CO/CO (vì CA = CO, do C là tâm đường tròn)

  OA/OB = 1

  OA = OB

• Nhưng AB' là đường cao của tam giác OAB. Hơn nữa, tam giác OAB là tam giác vuông tại A (vì OA là bán kính của đường tròn).

• Do đó, ta có AB' = AH (với H là điểm cắt của AO và BC).

• Kết hợp hai điều trên, ta có OA là trung trực của BC và AB' = AH.

b) Vẽ đường kính BD của (O, R). Gọi M là trung điểm CD. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại E.

• Vì BM là đường phân giác của góc B trong tam giác BCD (do M là trung điểm CD), ta có:

  ∠BMD = ∠BMC = 90°

• Khi đó, BM là đường cao của tam giác BCD, và từ đó:

  BD = 2 * BM

• Gọi E là điểm cắt của tiếp tuyến tại D và BC. Theo tính chất của tiếp tuyến và tiếp điểm ngoài, ta có:

  ∠BED = ∠BCD (cùng chắn cung BD)

  ∠BDE = ∠BDC (cùng chắn cung BE)

• Nhưng ∠BDC = 90° (do BM là đường cao của tam giác BCD).

• Vậy ∠BDE = 90°. Từ đó, tam giác BDE là tam giác vuông tại D.

• Tiếp theo, ta có:

  ∠DAB = ∠DEB (cùng chắn cung DB)

  ∠DBA = ∠DEA (cùng chắn cung BD)

• Khi đó, ∆DBA và ∆DEA đồng dạng.

• Từ đó, ta có:

  DA/DE = BA/EA

  DA/(DE + EA) = BA/EA

  DA/DA = BA/EA

  1 = BA/EA

  EA = BA

• Vậy, tam giác BAE là tam giác cân tại A.

• Cuối cùng, vì tam giác BAE cân tại A, ta có AM là đường phân giác của góc BAE.

• Từ đó, ∠BAM = ∠MAE. Nhưng ∠BAM = 90° (do BM là đường cao của tam giác BCD).

• Vậy ∠MAE = 90°, từ đó AE vuông góc với DE.

• Kết hợp với việc tam giác BDE là tam giác vuông tại D, ta có:

  ∆ADE và ∆BDE đồng dạng.

• Từ đó, ta có AD/BD = DE/BE và AE/BE = DE/BD.

• Nhân cả hai phương trình, ta được:

  AD * AE = DE^2

  BD * BE = DE^2

  AD * AE = BD * BE

  ADME và ABOE tứ giác nội tiếp có tỉ số diện tích bằng nhau.

Tóm lại, ta đã chứng minh ADME và ABOE tứ giác nội tiếp có tỉ số diện tích bằng nhau.