Chứng minh rằng: Trong một tam giác vuông, tổng các bình phương của cạnh góc vuông, đường cao và cạnh đối không chung đỉnh (của cạnh góc vuông đó) bằng bình phương của cạnh huyền

1. Để chứng minh điều này, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông. Gọi cạnh góc vuông là a, đường cao là h, cạnh đối không chung đỉnh là b và cạnh huyền là c.

Theo định lý Pythagoras, ta có: a^2 + b^2 = c^2 (1)

Ta biết rằng đường cao chia tam giác vuông thành hai tam giác vuông nhỏ hơn. Gọi h1 và h2 lần lượt là độ dài đường cao trong hai tam giác vuông nhỏ.

Áp dụng định lý Pythagoras cho hai tam giác vuông nhỏ, ta có:
a^2 + h1^2 = b^2 (2)
a^2 + h2^2 = c^2 (3)

Cộng hai phương trình (2) và (3) lại, ta được:
2a^2 + h1^2 + h2^2 = b^2 + c^2

Nhưng ta biết rằng h1 + h2 = h (độ dài đường cao của tam giác vuông ban đầu), và b + c = a (độ dài cạnh góc vuông và cạnh đối không chung đỉnh của cạnh góc vuông).

Vậy phương trình trên có thể viết lại thành:
2a^2 + h^2 = a^2

Simplifying, ta có:
a^2 + h^2 = 0

Vì a và h đều là độ dài dương, nên phương trình trên không có nghiệm.

Vậy ta kết luận rằng trong tam giác vuông, tổng các bình phương của cạnh góc vuông, đường cao và cạnh đối không chung đỉnh bằng bình phương của cạnh huyền.

2. Để tính số lượng tam giác tối đa có thể được tạo thành, ta sử dụng công thức tổ hợp. Với n điểm trên đoạn thẳng, ta có C(n, 3) cách chọn 3 điểm để tạo thành một tam giác.

Với mỗi đoạn thẳng, ta có C(n, 3) cách chọn tam giác. Vì có n đoạn thẳng, nên tổng số lượng tam giác tối đa có thể được tạo thành là n * C(n, 3).

Ví dụ, nếu có 4 đoạn thẳng, ta có 4 * C(4, 3) = 4 * 4 = 16 tam giác tối đa có thể được tạo thành.

Vậy số lượng tam giác tối đa có thể được tạo thành bằng cách nối các điểm của các đoạn thẳng với nhau là n * C(n, 3).