Để tìm số tự nhiên a nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên, ta sử dụng phương pháp tìm kiếm vét cạn.

Ta bắt đầu từ số 1 và kiểm tra lần lượt các số tự nhiên cho đến khi tìm được số a thỏa mãn yêu cầu.

Với mỗi số tự nhiên a, ta kiểm tra xem a có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Nếu a chia hết cho cả 3, 5 và 7 thì ta kiểm tra xem a cho dư lần lượt là 2, 3, 4 khi chia cho 3, 5 và 7 không. Nếu tất cả các điều kiện đều thỏa mãn, ta dừng tìm kiếm và số a đó là số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm.

Áp dụng phương pháp trên, ta có:

- Số tự nhiên đầu tiên là 1. Ta kiểm tra xem 1 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 1 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 2. Ta kiểm tra xem 2 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 2 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 3. Ta kiểm tra xem 3 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 3 chia hết cho 3, nhưng không chia hết cho 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 4. Ta kiểm tra xem 4 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 4 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 5. Ta kiểm tra xem 5 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 5 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 6. Ta kiểm tra xem 6 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 6 chia hết cho 3, nhưng không chia hết cho 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 7. Ta kiểm tra xem 7 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 7 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 8. Ta kiểm tra xem 8 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 8 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 9. Ta kiểm tra xem 9 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 9 chia hết cho 3, nhưng không chia hết cho 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 10. Ta kiểm tra xem 10 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 10 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 11. Ta kiểm tra xem 11 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 11 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 12. Ta kiểm tra xem 12 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 12 chia hết cho 3, không chia hết cho 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 13. Ta kiểm tra xem 13 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 13 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 14. Ta kiểm tra xem 14 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 14 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 15. Ta kiểm tra xem 15 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 15 chia hết cho 3, không chia hết cho 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 16. Ta kiểm tra xem 16 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 16 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 17. Ta kiểm tra xem 17 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 17 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 18. Ta kiểm tra xem 18 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 18 chia hết cho 3, không chia hết cho 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 19. Ta kiểm tra xem 19 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 19 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 20. Ta kiểm tra xem 20 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 20 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 21. Ta kiểm tra xem 21 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 21 chia hết cho 3, không chia hết cho 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 22. Ta kiểm tra xem 22 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 22 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 23. Ta kiểm tra xem 23 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 23 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 24. Ta kiểm tra xem 24 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 24 chia hết cho 3, không chia hết cho 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 25. Ta kiểm tra xem 25 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 25 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 26. Ta kiểm tra xem 26 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 26 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 27. Ta kiểm tra xem 27 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 27 chia hết cho 3, không chia hết cho 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 28. Ta kiểm tra xem 28 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 28 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 29. Ta kiểm tra xem 29 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 29 không chia hết cho 3, 5 và 7, nên ta tiếp tục tìm kiếm.

- Số tự nhiên tiếp theo là 30. Ta kiểm tra xem 30 có chia hết cho 3, 5 và 7 không. Ta thấy 30 chia hết cho 3, 5 và 7, nhưng không cho dư lần lượt là 2, 3, 4 khi chia cho 3, 5 và 7. Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu là 30.

Vậy số tự nhiên a nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu là 30.