Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn O bán kính R

a, Ta có tam giác ABC vuông tại A nên góc BAC = 90 độ. Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn O tại B và C nên góc BDC và CEB là góc vuông. Vì vậy, tam giác BDC và tam giác CEB là tam giác vuông.

Gọi O là tâm đường tròn O, ta có OB = OC = R (vì B và C là tiếp điểm của đường tròn O với đường thẳng d). Khi đó, tam giác OBC là tam giác cân tại O.

Do tam giác OBC là tam giác cân, nên góc BOC = góc BCO. Vì góc BOC + góc BCO = 180 độ (góc trong tam giác), nên góc BOC = góc BCO = 180 độ / 2 = 90 độ / 2 = 45 độ.

Gọi góc DOE là x. Ta có góc BDC = góc CEB = 90 độ, góc BOC = 45 độ. Vì góc BDC + góc BOC + góc CEB + góc DOE = 360 độ (góc bên trong đường tròn), nên 90 độ + 45 độ + 90 độ + x = 360 độ. Từ đó, ta có x = 360 độ - 90 độ - 45 độ - 90 độ = 135 độ.

Vậy, góc DOE = 135 độ.

b, Ta có tam giác BDC và tam giác CEB là tam giác vuông. Do đó, BD và CE là đường cao của tam giác BDC và tam giác CEB. Vì vậy, BD và CE vuông góc với DE.

Do BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE, nên BC vuông góc với DE.

Vậy, BC tiếp xúc với đường tròn đường kính DE.

c, Ta có tam giác BDC và tam giác CEB là tam giác vuông. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên DE.

Do tam giác BDC và tam giác CEB là tam giác vuông, nên BD và CE là đường cao của tam giác BDC và tam giác CEB. Vì vậy, BD và CE bằng nhau.

Gọi x là độ dài BD = CE. Ta có OH = R (vì O là tâm đường tròn O và H là hình chiếu vuông góc của O lên DE).

Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta có:

OH^2 = BD^2 + BH^2
R^2 = x^2 + BH^2

OH^2 = CE^2 + CH^2
R^2 = x^2 + CH^2

Từ hai phương trình trên, ta có:

x^2 + BH^2 = x^2 + CH^2
BH^2 = CH^2

Vì vậy, BH = CH.

Do tam giác BOC là tam giác cân, nên BH = CH = OC / √2 = R / √2.

Vậy, BD = CE = x = R^2.