a) Ta có tam giác vuông ABC tại A, với đường cao AH.
Theo định nghĩa đường cao, ta có HB ⊥ AC và HC ⊥ AB.
Vì HB = 4 cm và HC = 6 cm, ta có:
AB² = AH² + HB² = AH² + 4²
AC² = AH² + HC² = AH² + 6²

b) Gọi M là trung điểm của AC. Ta có AM = MC = AC/2.
Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên góc AMB = 90°.
Do đó, góc AMB = 90°.

c) Chứng minh CE = BC.cosC:
Trong tam giác ABC, áp dụng định lý cosin:
AC² = AB² + BC² - 2.AB.BC.cosC
Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên cosC = 0.
Do đó, AC² = AB² + BC²
Vì AB < AC, nên AB² < AC².
Vậy, AB² + BC² > AC².
Vì vậy, CE = BC.cosC.

d) Chứng minh AH = BC/(cotB + cotC):
Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC:
AC² = AB² + BC² - 2.AB.BC.cosC
Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên cosC = 0.
Do đó, AC² = AB² + BC²
Vậy, BC² = AC² - AB²
Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC:
AB² = AC² + BC² - 2.AC.BC.cosB
Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên cosB = 0.
Do đó, AB² = AC² + BC²
Vậy, AC² = AB² - BC²
Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC:
AH² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cosA
Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên cosA = 1.
Do đó, AH² = AB² + AC² - 2.AB.AC
Vì AB < AC, nên AB² < AC².
Vậy, AB² + AC² < 2.AB.AC
Vì vậy, AH² < 2.AB.AC
Do đó, AH < √(2.AB.AC)
Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABC:
cotB = AB/BC
cotC = AC/BC
Vậy, cotB + cotC = AB/BC + AC/BC = (AB + AC)/BC
Do đó, BC/(cotB + cotC) = BC/((AB + AC)/BC) = BC²/(AB + AC)
Vì AB < AC, nên AB² < AC².
Vậy, BC²/(AB + AC) < BC²/2.AC
Vì vậy, BC/(cotB + cotC) < √(2.AB.AC)
Vậy, AH < BC/(cotB + cotC).
Do đó, AH = BC/(cotB + cotC).