Cho tam giác vuông tại A ( AB; AC ) có I là trung điểm của cạnh AC Qua C kẻ đường thẳng song song với AB

Để chứng minh 3 điểm H, G, C thẳng hàng, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus trong tam giác ABI và đường thẳng KDG (với K là giao điểm của IK và AB, D là giao điểm của KD và BI, G là giao điểm của AK và BD).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABI với đường thẳng KDG, ta có:

(AK/KB) * (BD/DI) * (IG/GA) = 1

Vì IK // AB, nên AK/KB = AI/IB. Vì ΔABI bằng ΔCDI, nên BD/DI = AB/IC. Thay vào biểu thức trên, ta có:

(AI/IB) * (AB/IC) * (IG/GA) = 1

Từ đó suy ra:

(AI/IB) * (IG/GA) = IC/AB

Vì I là trung điểm của AC, nên AI/IB = IC/AB. Thay vào biểu thức trên, ta có:

(IC/AB) * (IG/GA) = IC/AB

Từ đó suy ra:

IG/GA = 1

Vậy ta có IG = GA.

Do đó, ta có AK = IH (vì AK và IH là đường cao của tam giác ABI và tam giác KIH).

Vì AK = IH và IG = GA, nên ta có tam giác AKG và tam giác IHG là tam giác đồng dạng (cạnh bên AK tương ứng với cạnh bên IH và cạnh bên KG tương ứng với cạnh bên HG).

Vậy ta có HG // AK.

Vì HG // AK và AK // BC, nên ta có HG // BC.

Do đó, ta có 3 điểm H, G, C thẳng hàng.