Để chứng minh các điểm thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh tứ giác là tứ giác nội tiếp.

1) Chứng minh A, F, D, C là tứ giác nội tiếp:
Ta có đường cao CF của tam giác ABC, nên góc CFA = 90 độ.
Tương tự, góc CDA = 90 độ.
Vậy tứ giác A, F, D, C là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh A, E, D, B là tứ giác nội tiếp:
Ta có đường cao AD của tam giác ABC, nên góc ADB = 90 độ.
Tương tự, góc AEB = 90 độ.
Vậy tứ giác A, E, D, B là tứ giác nội tiếp.

3) Gọi H là giao điểm của các đường cao:
Ta cần chứng minh A, F, H, E là tứ giác nội tiếp.
Ta có đường cao CF của tam giác ABC, nên góc CFA = 90 độ.
Tương tự, góc EHA = 90 độ.
Vậy tứ giác A, F, H, E là tứ giác nội tiếp.

4) Chứng minh E, H, D, C là tứ giác nội tiếp:
Ta đã chứng minh tứ giác A, F, D, C là tứ giác nội tiếp.
Vậy, góc EHC = góc AFC = 180 - góc ADC.
Vậy tứ giác E, H, D, C là tứ giác nội tiếp.

5) Chứng minh E, H, D, B là tứ giác nội tiếp:
Ta đã chứng minh tứ giác A, E, D, B là tứ giác nội tiếp.
Vậy, góc EHB = góc AHB = 180 - góc ADB.
Vậy tứ giác E, H, D, B là tứ giác nội tiếp.

Vậy, các điểm A, F, D, C, E, H, D, B thuộc cùng một đường tròn.