Cho hàm số y = 2mx + m + 1 (1) và y = (m - 1)x + 3 (2). Xác định m để hàm số (1) đồng biến, còn hàm số (2) nghịch biến

a) Để hàm số (1) đồng biến, ta cần xác định m sao cho đạo hàm của hàm số (1) luôn không âm trên khoảng xác định của nó. Ta có:

y = 2mx + m + 1

Đạo hàm của y theo x là:

y' = 2m

Vì y' không âm trên khoảng xác định của hàm số (1), nên m > 0.

Để hàm số (2) nghịch biến, ta cần xác định m sao cho đạo hàm của hàm số (2) luôn âm trên khoảng xác định của nó. Ta có:

y = (m-1)x + 3

Đạo hàm của y theo x là:

y' = m - 1

Vì y' luôn âm trên khoảng xác định của hàm số (2), nên m < 1.

Vậy, để hàm số (1) đồng biến và hàm số (2) nghịch biến, ta cần m > 0 và m < 1.

b) Đồ thị của 2 hàm số song song với nhau khi và chỉ khi hệ số góc của chúng bằng nhau. Ta có:

Hệ số góc của hàm số (1) là 2m.

Hệ số góc của hàm số (2) là m - 1.

Để đồ thị của 2 hàm số song song với nhau, ta cần 2m = m - 1. Từ đó, ta suy ra m = -1.

Vậy, để đồ thị của 2 hàm số song song với nhau, ta cần m = -1.

c) Để chứng minh rằng đồ thị (d) của hàm số (1) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m, ta cần chứng minh rằng đồ thị (d) luôn đi qua điểm có tọa độ (a, b), với a và b là các hằng số.

Để chứng minh điều này, ta thay (a, b) vào phương trình của hàm số (1):

b = 2ma + m + 1

Điều này tương đương với việc chứng minh phương trình trên luôn đúng với mọi giá trị của m.

Để chứng minh điều này, ta có thể chứng minh rằng phương trình trên đúng với một giá trị cụ thể của m, ví dụ m = 0.

Khi đó, phương trình trở thành:

b = a + 1

Với mọi giá trị của a và b, phương trình trên đều đúng.

Vậy, đồ thị (d) của hàm số (1) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m.