Tính lim(nsin^2n/n^2+1)

Để tính giới hạn của dãy số \(a_n = \frac{n \sin^2 n}{n^2 + 1}\), ta sẽ sử dụng giới hạn của hàm số \(\sin^2 x\) khi \(x\) tiến đến vô cùng.

Ta biết rằng \(-1 \leq \sin x \leq 1\) với mọi \(x\). Do đó, ta có \(-1 \leq \sin^2 x \leq 1\) với mọi \(x\).

Giới hạn của hàm số \(\sin^2 x\) khi \(x\) tiến đến vô cùng là 1, vì khi \(x\) tiến đến vô cùng, \(\sin^2 x\) cũng tiến đến 1.

Vậy, giới hạn của dãy số \(a_n\) khi \(n\) tiến đến vô cùng là:

\[\lim_{n \to \infty} \frac{n \sin^2 n}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + \frac{1}{n}} = 0.\]