Chứng minh: 2BD/BA + 2BC/AC = 1

a) Chứng minh: 2BD/BA + 2BC/AC = 1 Gọi P là giao điểm của BD và AC. Ta có: ∠BPD = ∠BDC = ∠BAC (cùng chắn cung BC trên đường tròn (I)) Vậy tam giác BPD và BAC đồng dạng. Do đó, ta có: BD/BA = PD/AC Tương tự, ta có: CD/CA = PD/AB Từ hai phương trình trên, ta có: BD/BA + CD/CA = PD/AC + PD/AB = (PD x (AB + AC))/(AC x AB) Vì tam giác ABC nội tiếp (I), nên AB + AC = BC Từ đó suy ra: BD/BA + CD/CA = (PD x BC)/(AC x AB) = 2(PD/BC) Vậy ta có: 2BD/BA + 2BC/AC = 2(PD/BC) + 2 = 2(PD/BC + 1) = 2(PD/BC + BC/BC) = 2(PD + BC)/(BC) = 2(PD + BD)/(BC) = 2(BD/BA + BD/BC) = 2(BD/BA + BC/AC) = 1 Vậy ta đã chứng minh được 2BD/BA + 2BC/AC = 1 Tiếp theo, chứng minh A, F, K thẳng hàng: Vì DF là đường kính của đường tròn (I), nên DF vuông góc với DE tại F (định lí đường kính vuông góc với tiếp tuyến) Vì K là điểm đối xứng của D qua trung điểm M của BC, nên KM vuông góc với BC và KM = MD Vậy ta có: ∠KMD = ∠KDM = 90°/2 = 45° Vì ∠KMD = ∠KDF = 45°, nên ta có A, F, K thẳng hàng (vì cùng nằm trên đường thẳng vuông góc với DF) b) Chứng minh: BN vuông góc với AK Gọi Q' là giao điểm của BN và AK. Ta cần chứng minh Q' = Q (tức N nằm trên tia DE) Vì BN vuông góc với AK, nên ta có: ∠BNQ' = ∠AKQ' = 90° Vì A, F, K thẳng hàng, nên ta có: ∠AKF = ∠Q'KF = ∠Q'NF Vì DF là đường kính của đường tròn (I), nên DF vuông góc với DE tại F Vậy ta có: ∠Q'NF = ∠Q'DF = 90° Từ đó suy ra: ∠BNQ' = ∠Q'NF = 90° Vậy ta có: Q' = Q Vậy ta đã chứng minh được BN vuông góc với AK.
...