Chứng minh:

Để chứng minh bất đẳng thức này, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz như sau:

(9a^2 + 1)(1 + 9) ≥ (3√(9a^2))(3√1) = 6√(9a^2) = 6a
(9b^2 + 1)(1 + 9) ≥ (3√(9b^2))(3√1) = 6√(9b^2) = 6b
(9c^2 + 1)(1 + 9) ≥ (3√(9c^2))(3√1) = 6√(9c^2) = 6c

Từ đó, ta có:

1/(9a^2 + 1) ≥ 1/6a
1/(9b^2 + 1) ≥ 1/6b
1/(9c^2 + 1) ≥ 1/6c

Áp dụng bất đẳng thức AM-HM, ta có:

(1/6a + 1/6b + 1/6c)/3 ≥ 3/(1/6a + 1/6b + 1/6c)

Tương đương với:

1/(9a^2 + 1) + 1/(9b^2 + 1) + 1/(9c^2 + 1) ≥ 9/(6a + 6b + 6c)

Vì a + b + c = 1, nên 6a + 6b + 6c = 6. Do đó:

1/(9a^2 + 1) + 1/(9b^2 + 1) + 1/(9c^2 + 1) ≥ 9/6 = 3/2

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức.