Chứng tỏ rằng S=1+3+3^2+...+3^2022 không là số chính phương

Để chứng minh rằng S không là số chính phương, ta sẽ sử dụng phương pháp giả sử ngược.

Giả sử S là số chính phương, tức là tồn tại một số nguyên dương k sao cho S = k^2.

Ta có: S = 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^2022

Đặt T = 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^2021

Khi đó, ta có: S = T + 3^2022

Vì S là số chính phương, nên T cũng phải là số chính phương.

Ta có: T = 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^2021 = (3^2022 - 1) / (3 - 1) = (3^2022 - 1) / 2

Vì T là số chính phương, nên (3^2022 - 1) / 2 cũng phải là số chính phương.

Đặt m = (3^2022 - 1) / 2, với m là số nguyên dương.

Ta có: 3^2022 - 1 = 2m

Vì 3^2022 - 1 là số lẻ, nên m cũng phải là số lẻ.

Đặt m = 2n + 1, với n là số nguyên dương.

Ta có: 3^2022 - 1 = 4n + 2

3^2022 = 4n + 3

Vì 3^2022 chia hết cho 3, nên 4n + 3 cũng phải chia hết cho 3.

Tuy nhiên, 4n + 3 không chia hết cho 3, do đó giả sử ban đầu là sai.

Vậy ta kết luận rằng S = 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^2022 không là số chính phương.