Để tính chiều dài đoạn AK, ta cần tìm giá trị của AH và FG.

Ta có:
- Trong tam giác ABC, ta có đường cao AH chia tam giác thành hai tam giác AHG và AHF.
- Ta có đường tròn đường kính DE cắt AB tại F và AC tại G, nên ta có các góc AGF và AFE vuông.
- Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC.

Do đó, ta có các tam giác vuông AHG, AHF, AGF và AFE.

Áp dụng định lý Pythagoras cho các tam giác vuông, ta có:

1. Trong tam giác AHG:
- AG^2 + GH^2 = AH^2
- AG^2 + (BC - BH)^2 = AH^2
- AG^2 + (25 - BH)^2 = AH^2

2. Trong tam giác AHF:
- AF^2 + FH^2 = AH^2
- AF^2 + (BC - CH)^2 = AH^2
- AF^2 + (25 - CH)^2 = AH^2

3. Trong tam giác AGF:
- AG^2 + AF^2 = FG^2

4. Trong tam giác AFE:
- AF^2 + EF^2 = AE^2
- AF^2 + (BE - BF)^2 = AE^2
- AF^2 + (7 - BF)^2 = AE^2

Ta có hệ phương trình:
1. AG^2 + (25 - BH)^2 = AH^2
2. AF^2 + (25 - CH)^2 = AH^2
3. AG^2 + AF^2 = FG^2
4. AF^2 + (7 - BF)^2 = AE^2

Giải hệ phương trình trên để tìm giá trị của AG, AF và AH.

Sau khi tìm được giá trị của AG, AF và AH, ta có thể tính chiều dài đoạn AK bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHK:

AK^2 = AH^2 + KH^2

Tính căn bậc hai của AK^2 để tìm chiều dài đoạn AK.