a) Ta có:
- Vì OK song song với BA nên góc BOK = góc BAC (1)
- Vì OI là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc OIC = góc OCA (2)
- Góc OCA = góc BAC (3) (do AC là tiếp tuyến của đường tròn (O))
- Từ (1), (2) và (3), ta có góc BOK = góc OIC
- Vì góc BOK = góc OIC nên tam giác BOK đồng dạng với tam giác OIC
- Do đó, ta có OB/OI = OK/OC
- Vì OB = OC (vì O là tâm đường tròn (O)), nên ta có OK = OI
- Vậy tam giác ABC vuông tại A
- Ta có OH là đường trung bình của tam giác ABC, nên H là trung điểm của AC

b) Ta có:
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BOC = 2 * góc BAC = 180 độ
- Vì góc BOC = 180 độ, nên tam giác BOC là tam giác nội tiếp
- Vì IA là đường phân giác của góc BOC, nên IA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Ta có:
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BOC = 2 * góc BAC = 180 độ
- Vì góc BOC = 180 độ, nên tam giác BOC là tam giác nội tiếp
- Vì IA là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc IAC = góc OCB
- Vì góc BAC = góc OCB, nên góc IAC = góc BAC
- Vậy CK là phân giác của góc ACI

d) Để tam giác AIC là tam giác đều, ta cần có IA = IC
- Ta có OI = OK (vì tam giác BOK đồng dạng với tam giác OIC)
- Vì OI = OK và O là tâm đường tròn (O), nên ta có IA = IC khi và chỉ khi A và C nằm cùng phía đối với OK
- Vậy điểm A nằm trên cùng BC để tam giác AIC là tam giác đều.