a) Để tìm chu vi tam giác OAB, ta cần tìm độ dài các cạnh OA, AB và BO.

Điểm A là điểm cắt trục hoành, nên tọa độ của A là (m, 0).
Điểm B là điểm cắt trục tung, nên tọa độ của B là (0, 1/m).
Điểm O là gốc tọa độ, nên tọa độ của O là (0, 0).

Độ dài cạnh OA là khoảng cách giữa O và A, được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng:
OA = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((0 - m)^2 + (0 - 0)^2) = √(m^2) = |m|

Độ dài cạnh AB là khoảng cách giữa A và B, được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng:
AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((0 - m)^2 + (1/m - 0)^2) = √(m^2 + 1/m^2)

Độ dài cạnh BO là khoảng cách giữa B và O, được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng:
BO = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((0 - 0)^2 + (1/m - 0)^2) = √(1/m^2) = 1/|m|

Chu vi tam giác OAB là tổng độ dài các cạnh:
Chu vi OAB = OA + AB + BO = |m| + √(m^2 + 1/m^2) + 1/|m|

Đề bài yêu cầu chu vi tam giác OAB bằng 3, nên ta có phương trình:
|m| + √(m^2 + 1/m^2) + 1/|m| = 3

Để giải phương trình này, ta xét hai trường hợp:
- Khi m > 0: Phương trình trở thành m + √(m^2 + 1/m^2) + 1/m = 3
- Khi m < 0: Phương trình trở thành -m + √(m^2 + 1/m^2) - 1/m = 3

Giải từng trường hợp, ta sẽ tìm được tất cả các giá trị của tham số m để chu vi tam giác OAB bằng 3.

b) Để chứng minh rằng đồ thị hàm số y = 1/m * x + 1 luôn đi qua vô số điểm nguyên, ta cần chứng minh rằng với m là số hữu tỉ khác 0, tồn tại vô số cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình y = 1/m * x + 1.

Để chứng minh điều này, ta xét một số trường hợp:
- Khi m = 1, phương trình trở thành y = x + 1. Với mọi giá trị nguyên của x, ta có y cũng là số nguyên.
- Khi m = 2, phương trình trở thành y = (1/2) * x + 1. Với mọi giá trị nguyên của x, ta có y cũng là số nguyên.
- Tương tự, ta có thể chứng minh cho các giá trị nguyên khác của m.

Do đó, với m là số hữu tỉ khác 0, đồ thị hàm số y = 1/m * x + 1 luôn đi qua vô số điểm nguyên.