Để chứng minh rằng 2(x^5 + y^5 + z^5) = 5xyz(x^2 + y^2 + z^2), ta sẽ sử dụng công thức Newton về đa thức đối với bậc 5.

Theo công thức Newton, ta có:
(x + y + z)^5 = x^5 + y^5 + z^5 + 5x^4y + 5x^4z + 5y^4x + 5y^4z + 5z^4x + 5z^4y + 10x^3y^2 + 10x^3z^2 + 10y^3x^2 + 10y^3z^2 + 10z^3x^2 + 10z^3y^2 + 20x^2y^3 + 20x^2z^3 + 20y^2x^3 + 20y^2z^3 + 20z^2x^3 + 20z^2y^3 + 30x^2y^2z + 30x^2z^2y + 30y^2x^2z + 30y^2z^2x + 30z^2x^2y + 30z^2y^2x + 60xyz^3 + 60xy^3z + 60x^3yz.

Vì x + y + z = 0, nên ta có:
(x + y + z)^5 = 0.

Từ đó, ta có:
x^5 + y^5 + z^5 + 5x^4y + 5x^4z + 5y^4x + 5y^4z + 5z^4x + 5z^4y + 10x^3y^2 + 10x^3z^2 + 10y^3x^2 + 10y^3z^2 + 10z^3x^2 + 10z^3y^2 + 20x^2y^3 + 20x^2z^3 + 20y^2x^3 + 20y^2z^3 + 20z^2x^3 + 20z^2y^3 + 30x^2y^2z + 30x^2z^2y + 30y^2x^2z + 30y^2z^2x + 30z^2x^2y + 30z^2y^2x + 60xyz^3 + 60xy^3z + 60x^3yz = 0.

Ta nhân cả hai vế của phương trình trên với 2, ta được:
2(x^5 + y^5 + z^5) + 10x^4y + 10x^4z + 10y^4x + 10y^4z + 10z^4x + 10z^4y + 20x^3y^2 + 20x^3z^2 + 20y^3x^2 + 20y^3z^2 + 20z^3x^2 + 20z^3y^2 + 40x^2y^3 + 40x^2z^3 + 40y^2x^3 + 40y^2z^3 + 40z^2x^3 + 40z^2y^3 + 60x^2y^2z + 60x^2z^2y + 60y^2x^2z + 60y^2z^2x + 60z^2x^2y + 60z^2y^2x + 120xyz^3 + 120xy^3z + 120x^3yz = 0.

Nhưng ta cũng có:
5xyz(x^2 + y^2 + z^2) = 10x^3yz + 10xy^3z + 10xyz^3 + 10x^2yz^2 + 10xy^2z^2 + 10x^2y^2z.

Từ đó, ta có:
2(x^5 + y^5 + z^5) + 10x^4y + 10x^4z + 10y^4x + 10y^4z + 10z^4x + 10z^4y + 20x^3y^2 + 20x^3z^2 + 20y^3x^2 + 20y^3z^2 + 20z^3x^2 + 20z^3y^2 + 40x^2y^3 + 40x^2z^3 + 40y^2x^3 + 40y^2z^3 + 40z^2x^3 + 40z^2y^3 + 60x^2y^2z + 60x^2z^2y + 60y^2x^2z + 60y^2z^2x + 60z^2x^2y + 60z^2y^2x + 120xyz^3 + 120xy^3z + 120x^3yz = 5xyz(x^2 + y^2 + z^2).

Do đó, ta đã chứng minh được rằng 2(x^5 + y^5 + z^5) = 5xyz(x^2 + y^2 + z^2).