Để chứng minh tam giác AHC là tam giác vuông, ta cần chứng minh AC vuông góc với HC.

Ta có:
- I là trung điểm của BC nên AI song song với DE (do DE là đường thẳng đối của tia ID).
- Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt đường thẳng AI tại D nên BD vuông góc với AB.
- IE = ID nên tam giác IED là tam giác cân tại I.
- Vì AI song song với DE nên tam giác AID cũng là tam giác cân tại I.
- Do đó, ta có AI vuông góc với ID và AD = ID.

Khi đó, ta có:
- Trong tam giác ABD, ta có BD vuông góc với AB và AD = ID nên tam giác ABD là tam giác vuông cân tại B.
- Vì I là trung điểm của BC nên tam giác ABC là tam giác đều.
- Do đó, ta có AB = AC.

Áp dụng định lí Euclid, ta có:
- Trong tam giác ABC, ta có AB = AC và tam giác ABC là tam giác đều nên tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
- Vì H là giao điểm của CE và AB nên tam giác AHC là tam giác vuông cân tại A.

Vậy, tam giác AHC là tam giác vuông.