a) Ta có:
- Góc AOC = Góc BOD = 90 độ (do Ax và By là tiếp tuyến tại M).
- Góc OAC = Góc OBD (góc nội tiếp chắn cung AB).
- Góc OCA = Góc ODB (góc nội tiếp chắn cung AB).
Do đó, hai tam giác OAC và OBD đồng dạng (cùng có hai góc bằng nhau).
Từ đó suy ra:
AC/OC = BD/OD (đồng dạng tam giác)
AC + BD = OC + OD (nhân hai vế với OC.OD)
AC.OD + BD.OC = OC.OD (đặt OC = x, OD = y)
AC.OD + BD.OC - OC.OD = 0
(AC - OD).(OD - OC) = 0
AC - OD = 0 hoặc OD - OC = 0
AC = OD hoặc BD = OC
Vì AC < OD và BD < OC (do AC, BD là tiếp tuyến), nên ta có:
AC = OD và BD = OC
Do đó, CD = AC + BD và góc COD vuông.

b) Ta có:
- Góc AOC = Góc BOD = 90 độ (do Ax và By là tiếp tuyến tại M).
- Góc OAC = Góc OBD (góc nội tiếp chắn cung AB).
- Góc OCA = Góc ODB (góc nội tiếp chắn cung AB).
Do đó, hai tam giác OAC và OBD đồng dạng (cùng có hai góc bằng nhau).
Từ đó suy ra:
AC/OC = BD/OD (đồng dạng tam giác)
AC.OD = BD.OC (nhân hai vế với OC.OD)
AC.BD = R^2 (do OC = OD = R)

c) Ta có:
- Góc AOC = Góc BOD = 90 độ (do Ax và By là tiếp tuyến tại M).
- Góc OAC = Góc OBD (góc nội tiếp chắn cung AB).
- Góc OCA = Góc ODB (góc nội tiếp chắn cung AB).
Do đó, hai tam giác OAC và OBD đồng dạng (cùng có hai góc bằng nhau).
Từ đó suy ra:
AC/OC = BD/OD (đồng dạng tam giác)
AC.OD = BD.OC (nhân hai vế với OC.OD)
AC.BD = R^2 (do OC = OD = R)
Mà AC = OD và BD = OC (đã chứng minh ở câu b)
Vậy AC.BD = R^2
Do đó, ta có:
AC/OC = BD/OD = 1
Từ đó suy ra:
AC = OC và BD = OD
Vậy ta có:
OC = AC = OD = BD
Do đó, ta có:
OC = AC = OD = BD = R
Và ta có:
OC = OD = R
Do đó, EF = R (do OC và OD là đường cao của tam giác OEF).