Để chứng minh OM = ON, ta sẽ sử dụng hai định lí sau:

Định lí 1: Trong một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại một điểm O, thì tứ giác đó là tứ giác điều hòa.

Định lí 2: Trong một tứ giác điều hòa, thì các đường chéo cắt nhau tại một điểm O và các đường đi qua điểm O và song song với hai cạnh không chứa điểm O của tứ giác, cắt các cạnh không chứa điểm O theo tỉ lệ bằng nhau.

Áp dụng định lí 1 vào tứ giác ABCD, ta có:
- Đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O.
- Đường thẳng qua O và song song với hai cạnh không chứa O của tứ giác là đường thẳng MN.
- Các cạnh AD và BC không chứa điểm O của tứ giác cắt đường thẳng MN tại các điểm M và N.

Áp dụng định lí 2 vào tứ giác ABCD, ta có:
- Đường thẳng MN cắt cạnh AB tại điểm P và cạnh CD tại điểm Q.
- Ta có tỉ lệ AP/PB = DQ/QC.

Do đó, ta có tứ giác MPNQ là tứ giác điều hòa.

Từ định lí 2, ta biết rằng các đường đi qua điểm O và song song với hai cạnh không chứa điểm O của tứ giác điều hòa, cắt các cạnh không chứa điểm O theo tỉ lệ bằng nhau. Vì vậy, ta có tỉ lệ MO/ON = MP/PN.

Vì tứ giác MPNQ là tứ giác điều hòa, nên ta có tỉ lệ MP/PN = MQ/NQ.

Từ hai tỉ lệ trên, ta có tỉ lệ MO/ON = MQ/NQ.

Vì vậy, ta có MO/ON = MQ/NQ.

Do đó, ta chứng minh được rằng OM = ON.