Cho x, y, z thỏa mãn: 9x² + y² + 2z² - 18x + 4z - 6y + 20 = 0. Tính giá trị của biểu thức: A

Để giải phương trình bậc hai này, ta sẽ biến đổi và tìm giá trị cho \(x\), \(y\), \(z\).

**Bước 1: Biến đổi phương trình.**

Ta viết lại phương trình đã cho:

\[
9x^2 - 18x + y^2 - 6y + 2z^2 + 4z + 20 = 0.
\]

**Bước 2: Nhóm và hoàn thành bình phương.**

- Đối với \(x\):

\[
9(x^2 - 2x) = 9((x-1)^2 - 1) = 9(x-1)^2 - 9.
\]

- Đối với \(y\):

\[
y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9.
\]

- Đối với \(z\):

\[
2(z^2 + 2z) = 2((z+1)^2 - 1) = 2(z+1)^2 - 2.
\]

**Bước 3: Thay các biến hoàn thành bình phương vào phương trình.**

Thay vào phương trình ban đầu:

\[
9((x-1)^2 - 1) + (y-3)^2 - 9 + 2((z+1)^2 - 1) + 20 = 0.
\]

Rút gọn:

\[
9(x-1)^2 + (y-3)^2 + 2(z+1)^2 + 3 = 0.
\]

Vì các bình phương luôn không âm, nên:

\[
9(x-1)^2 + (y-3)^2 + 2(z+1)^2 = -3.
\]

Điều này chỉ có thể xảy ra nếu \(x=1\), \(y=3\), \(z=-1\), khi đó các thành phần tái lập lại về 0.

**Bước 4: Tính giá trị của biểu thức A.**

Ta sẽ thay \(x\), \(y\), \(z\) vào biểu thức:

\[
A = \frac{(x + y - 4)^{2024} - z^{2024}}{xyz}.
\]

Với \(x = 1\), \(y = 3\), \(z = -1\):

\[
x + y - 4 = 1 + 3 - 4 = 0.
\]

Do đó:

\[
A = \frac{0^{2024} - (-1)^{2024}}{1 \cdot 3 \cdot (-1)} = \frac{0 - 1}{-3} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}.
\]

Vậy giá trị của biểu thức \(A\) là:

\[
\boxed{\frac{1}{3}}.
\]