Để tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn đẳng thức 2xy - x + y = 3, ta có thể sử dụng phương pháp giải đẳng thức.

Đặt đẳng thức ban đầu thành phương trình bậc hai theo biến x:
2xy - x + y - 3 = 0

Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:
x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a

Trong đó:
a = 2y - 1
b = 1
c = y - 3

Thay các giá trị vào công thức, ta có:
x = [-(1) ± √((1)^2 - 4(2y - 1)(y - 3))] / 2(2y - 1)

Simplifying the equation, we get:
x = [-1 ± √(1 - 8y + 8y^2 - 4y + 12)] / (4y - 2)
x = [-1 ± √(8y^2 - 12y + 13)] / (4y - 2)

Để x là số nguyên dương, ta cần tìm các giá trị của y sao cho 8y^2 - 12y + 13 là một số chính phương.

Giải phương trình 8y^2 - 12y + 13 = k^2, với k là số nguyên dương, ta có:
8y^2 - 12y + 13 - k^2 = 0

Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:
y = [12 ± √(12^2 - 4(8)(13 - k^2))] / (2(8))
y = [12 ± √(144 - 32(13 - k^2))] / 16
y = [12 ± √(144 - 416 + 32k^2)] / 16
y = [12 ± √(32k^2 - 272)] / 16
y = [3 ± √(8k^2 - 68)] / 4

Để y là số nguyên dương, ta cần tìm các giá trị của k sao cho 8k^2 - 68 là một số chính phương.

Giải phương trình 8k^2 - 68 = m^2, với m là số nguyên dương, ta có:
8k^2 - 68 - m^2 = 0

Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai, ta có:
k = [0 ± √(0^2 - 4(8)(-68 - m^2))] / (2(8))
k = [0 ± √(0 + 32(68 + m^2))] / 16
k = [0 ± √(2176 + 32m^2)] / 16
k = [0 ± √(32m^2 + 2176)] / 16
k = [0 ± √(32(m^2 + 68))] / 16
k = [0 ± 4√(m^2 + 68)] / 16
k = [0 ± √(m^2 + 68)] / 4

Để k là số nguyên dương, ta cần tìm các giá trị của m sao cho m^2 + 68 là một số chính phương.

Từ các phương trình trên, ta có thể tìm được tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn đẳng thức 2xy - x + y = 3.