Cho tam giác ABC (AB < AC), Trên ta AC lấy điểm E, trên tia AB lấy điểm F sao cho AE = AB, AF = AC, Đường thẳng EF cắt BC tại D

a) Ta có AE = AB, AF = AC, suy ra tam giác AEF là tam giác đều. Do đó, góc AEF = góc AFE = 60 độ.
Gọi G là giao điểm của AD và EF. Ta cần chứng minh AG là tia phân giác của góc A.
Vì tam giác AEF là tam giác đều, nên AG cũng là đường trung tuyến của tam giác AEF. Do đó, AG song song với EF.
Mà EF cắt BC tại D, nên góc ADB = góc AEG (do cùng chắn cung AG trên đường tròn (AEGD)).
Tương tự, góc ADC = góc AFG.
Vì góc AEF = góc AFE = 60 độ, nên góc AEG = góc AFG = 180 - 60 - góc A = 120 - góc A.
Vậy, góc ADB = góc ADC = 120 - góc A.
Do đó, AD là tia phân giác của góc A.

b) Gọi M' là điểm đối xứng của M qua trung điểm của AB. Ta cần chứng minh MC - MB < AC - AB.
Vì M' là điểm đối xứng của M qua trung điểm của AB, nên AM' = AM và BM' = BM.
Khi đó, ta có:
MC - MB = MC - BM' = MC - AM' = AC - AM.
Vậy, ta cần chứng minh AC - AM < AC - AB.
Điều này tương đương với AM > AB.
Vì tam giác ABC là tam giác có AB < AC, nên theo bất đẳng thức tam giác, ta có AM > AB.
Vậy, ta đã chứng minh được MC - MB < AC - AB.