a) Ta có tam giác ABC vuông tại A và AM là đường trung tuyến, nên M là trung điểm của BC.
Gọi E là giao điểm của tia đối của tia MA với BC. Ta cần chứng minh MD = MA.

Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90°.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BCA = 90°.
Vậy tam giác BAC và tam giác BCA là tam giác vuông cân.

Do đó, góc BAC = góc BCA = 45°.
Vậy tam giác BAC là tam giác đều.

Vì tam giác BAC là tam giác đều, nên góc BAM = 60°.
Vì tam giác BAC là tam giác đều, nên góc CAM = 60°.

Vậy tam giác BAM và tam giác CAM là tam giác đều.

Vì tam giác BAM là tam giác đều, nên góc AMB = 60°.
Vì tam giác CAM là tam giác đều, nên góc AMC = 60°.

Vậy góc AMB = góc AMC = 60°.

Vì góc AMB = góc AMC = 60°, nên tam giác AMB và tam giác AMC là tam giác đồng dạng.

Vậy tam giác AMB và tam giác AMC có cạnh chung AM và góc chung AMB = AMC = 60°, nên tam giác AMB và tam giác AMC là tam giác đồng dạng.

Do đó, MA/MB = MC/MA.
Tương đương với MA^2 = MB.MC.

Vì M là trung điểm của BC, nên MB = MC.
Vậy MA^2 = MB^2.
Vậy MA = MB.

Vậy MD = MA.

b) Ta đã chứng minh được MD = MA.
Vì MD = MA, nên tam giác MAB và tam giác MDC là tam giác cân cân.
Vậy góc MAB = góc MDC và góc MBA = góc MCD.

Tính các góc của tứ giác ABCD:
Góc A = 90° (vì tam giác ABC vuông tại A)
Góc B = 45° (vì tam giác ABC là tam giác đều)
Góc C = 45° (vì tam giác ABC là tam giác đều)
Góc D = 90° (vì tam giác MDC vuông tại D)
Góc MAB = góc MDC (vì tam giác MAB và tam giác MDC là tam giác cân cân)
Góc MBA = góc MCD (vì tam giác MAB và tam giác MDC là tam giác cân cân)