Để chứng minh các phần a), b), c), d), ta sẽ sử dụng các định lí và quy tắc trong hình học tam giác và hình học vuông góc.

a) Ta có tam giác ABC vuông tại A và BD là tia phân giác của góc ABC. Khi đó, ta có:
- Góc ABD = Góc CBD (BD là tia phân giác của góc ABC)
- Góc ADB = Góc CDB (BD là tia phân giác của góc ABC)
- Góc ABD + Góc ADB = 90° (tam giác ABC vuông tại A)

Do đó, tam giác ABD và tam giác CDB là hai tam giác đồng dạng (có cạnh chung và hai góc tương ứng bằng nhau). Vì vậy, ta có:

AB/BD = CB/DB
AB/AD = CB/DC (vì BD = DC)
AB/AD = CB/DB

Do đó, ta có AD = DB (nhân hai vế của phương trình trên với AD) và AD = DE (vì DB = DE).

b) Ta cần chứng minh rằng A, B, F thẳng hàng. Ta có:

Góc BDF = Góc BDC + Góc CDF (định lí góc nội tiếp)
Góc BDF = Góc BDC + Góc CDB (vì DF = DC)
Góc BDF = Góc BDC + Góc ADB (tam giác ADB vuông tại A)
Góc BDF = Góc ABC + Góc ADB (tam giác ABC vuông tại A)
Góc BDF = Góc ABC + Góc ABC (BD là tia phân giác của góc ABC)
Góc BDF = 2 * Góc ABC

Tương tự, ta có:

Góc BAF = Góc ABC + Góc ABC

Vì vậy, ta có Góc BDF = Góc BAF. Do đó, A, B, F thẳng hàng.

c) Ta cần chứng minh rằng BD vuông góc với AE. Ta có:

Góc BDA = Góc CDA (BD là tia phân giác của góc ABC)
Góc BDA = Góc CDA + Góc CDB (định lí góc nội tiếp)
Góc BDA = Góc CDA + Góc CDF (vì DF = DC)
Góc BDA = Góc CDA + Góc ADF (tam giác ADF vuông tại A)
Góc BDA = Góc CDA + Góc ABD (tam giác ABD vuông tại A)
Góc BDA = Góc CDA + Góc ABC (BD là tia phân giác của góc ABC)
Góc BDA = Góc CDA + Góc CDA (BD là tia phân giác của góc ABC)
Góc BDA = 2 * Góc CDA

Vì vậy, ta có Góc BDA = 2 * Góc CDA. Do đó, BD vuông góc với AE.

d) Ta cần chứng minh rằng AE // FC. Ta có:

Góc ADF = Góc ABD (tam giác ADF vuông tại A)
Góc ADF = Góc CDB (BD là tia phân giác của góc ABC)
Góc ADF = Góc CDF (vì DF = DC)

Vì vậy, ta có Góc ADF = Góc CDF. Do đó, AE // FC.