Để chứng minh các yếu tố trong hình chữ nhật ABCD như bài toán đã cho, ta bắt đầu với các phần sau:

### a) Chứng minh MN // AD và MN = DC

1. **H là chân đường vuông góc từ A đến BD**: Điều này có nghĩa là AH vuông góc với BD.
2. **M và N là trung điểm của AH và DH**: Do đó, ta có:
- AM = MH
- DN = NH

3. **Tính chất của hình chữ nhật**:
- Trong hình chữ nhật ABCD, ta có AD // BC và AD = BC.

4. **Chứng minh MN // AD**:
- Nhìn vào tam giác AHD, ta nhận thấy:
- AH vuông góc BD → góc AHB = góc DHC (cùng tạo bởi đường chéo BD).
- Suy ra, MN // AD theo quy tắc về các góc đồng vị.

5. **Chứng minh MN = DC**:
- Ta có:
- MN = 1/2 (AH + DH) (theo định lý trung bình).
- Lưu ý rằng AH = DH do H là chân đường vuông góc, nên AH = DH = DC.
- Do đó, MN = 1/2*2*DC = DC.

### b) Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành

1. **Chứng minh BM // NI và BM = NI**:
- Vì MN // AD, theo định lý về các cạnh đối diện trong hình bình hành:
- BM và NI nằm trên hai đoạn thẳng song song.
- Đồng thời, MN = DC (đã chứng minh ở phần a).

2. **Kết luận**:
- Vì BM // NI và BM = NI, nên theo định nghĩa, tứ giác BMNI là hình bình hành.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng MN // AD, MN = DC và tứ giác BMNI là hình bình hành.