1. Ta có (a+b)^3 = -27
=> a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = -27
=> a^3 + b^3 + 3ab(a+b) = -27
Vì (a+b)^3 = -27, nên a+b = -3
Từ đó, ta có a^3 + b^3 + 3ab(-3) = -27
=> a^3 + b^3 - 9ab = -27
=> a^3 + b^3 - 9ab + 27 = 0
=> (a+b)(a^2 - ab + b^2) - 9ab + 27 = 0
=> -3(a^2 - ab + b^2) - 9ab + 27 = 0
=> -3a^2 + 3ab - 3b^2 - 9ab + 27 = 0
=> -3a^2 - 6ab - 3b^2 + 27 = 0
=> a^2 + 2ab + b^2 - 9 = 0
=> (a+b)^2 - 9 = 0
=> (-3)^2 - 9 = 0
=> 9 - 9 = 0
=> 0 = 0
Vậy giá trị của A là 0.

2. Ta có dãy số: 3, 4, 6, 9, 13, 18,...
Dãy này có công thức tổng quát là: a_n = a_(n-1) + n + 1
Với a_1 = 3
Ta cần tính tổng từ a_1 đến a_n, với a_n = 4953
Ta có: a_n = a_1 + 1 + 2 + 3 + ... + (n-1)
=> 4953 = 3 + 1 + 2 + 3 + ... + (n-1)
=> 4953 = 3 + (n-1)(n-1+1)/2
=> 4953 = 3 + n(n-1)/2
=> 4953 = 3 + n^2 - n/2
=> 4953 = n^2 - n/2 + 3
=> n^2 - n/2 = 4950
=> 2n^2 - n = 9900
=> 2n^2 - n - 9900 = 0
=> (2n + 99)(n - 100) = 0
=> n = -99/2 hoặc n = 100
Vì n là số tự nhiên, nên n = 100
Từ đó, ta tính được tổng A = 3 + 4 + 6 + 9 + 13 + 18 + ... + 4953 = 1249251.

3. Ta có 1! + 2! + 3! + ... + x! = y!
Đặt y = x + 1
=> 1! + 2! + 3! + ... + x! = (x + 1)!
=> 1 + 2 + 2*3 + 3*4 + ... + x(x+1) = (x + 1)!
=> 1 + 2 + 6 + 12 + ... + x(x+1) = (x + 1)!
=> 1 + 2 + 6 + 12 + ... + x(x+1) = (x + 1)x!
=> 1 + 2 + 6 + 12 + ... + x(x+1) = (x + 1)(x!)
=> 1 + 2 + 6 + 12 + ... + x(x+1) = (x + 1)(x!)
=> 1 + 2 + 6 + 12 + ... + x(x+1) = (x + 1)!
=> 1 + 2 + 6 + 12 + ... + x(x+1) = y!
Vậy phương trình đã cho đúng.