Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, ta sẽ đặt P = f(a, b, c) = a^2 - ab + 2b^2/a + 2b + 2a^2 + 5c/9.

Đạo hàm riêng của f theo a:
∂f/∂a = 2a - b + 4a/(a + 2b).

Đạo hàm riêng của f theo b:
∂f/∂b = -a + 4b/(a + 2b) + 2/(a + 2b).

Đạo hàm riêng của f theo c:
∂f/∂c = 5/9.

Điều kiện cần để f đạt giá trị nhỏ nhất là đạo hàm riêng theo a và b bằng 0:
2a - b + 4a/(a + 2b) = 0,
-a + 4b/(a + 2b) + 2/(a + 2b) = 0.

Giải hệ phương trình này, ta có:
2a - b + 4a/(a + 2b) = 0,
-a(a + 2b) + 4b + 2 = 0.

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
2a(a + 2b) - b(a + 2b) + 4a = 0,
2a^2 + 4ab - ab - 2b^2 + 4a = 0,
2a^2 + 3ab - 2b^2 + 4a = 0.

Từ phương trình thứ hai, ta có:
-a^2 - 2ab + 4b + 2 = 0,
a^2 + 2ab - 4b - 2 = 0.

Tổng hai phương trình trên, ta có:
3a^2 - 6b = 0,
a^2 - 2ab - 2 = 0.

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
a^2 = 2b.

Thay vào phương trình thứ hai, ta có:
2b - 2ab - 2 = 0,
2b(1 - a) = 2,
b(1 - a) = 1,
b = 1/(1 - a).

Thay b vào a^2 = 2b, ta có:
a^2 = 2/(1 - a),
a^2 - 2/(1 - a) = 0,
a^3 - a^2 - 2 = 0.

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng định lý Viète. Tuy nhiên, phương trình này không thể giải bằng phép tính đơn giản. Ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị hoặc phương pháp lặp để tìm nghiệm gần đúng của phương trình.

Sau khi tìm được giá trị gần đúng của a, ta có thể tính được giá trị của b và c từ a + b + c = 3.

Sau khi tìm được giá trị của a, b, c, ta có thể tính được giá trị của biểu thức P = a^2 - ab + 2b^2/a + 2b + 2a^2 + 5c/9.