Để chứng minh rằng tồn tại 2023 STN liên tiếp mà tất cả các số đều là hợp số, ta sẽ sử dụng Định lý Dirichlet về số hữu tỉ.

Định lý Dirichlet: Cho hai số nguyên tố tương đối cùng nhau a và d. Khi đó, dãy số a, a+d, a+2d, a+3d,... chứa vô hạn số nguyên tố.

Áp dụng Định lý Dirichlet, ta chọn a = 2023 và d = 2023! (giai thừa của 2023). Ta biết rằng 2023 và 2023! là hai số nguyên tố tương đối cùng nhau.

Dãy số a, a+d, a+2d, a+3d,... sẽ là dãy số 2023, 2023 + 2023!, 2023 + 2*2023!, 2023 + 3*2023!,...

Ta sẽ chứng minh rằng trong dãy số này, tồn tại ít nhất 2023 số hợp số liên tiếp.

Giả sử ngược lại, tồn tại một dãy con gồm 2023 số nguyên tố liên tiếp. Khi đó, theo Định lý Dirichlet, ta có thể chọn một số nguyên tố p sao cho p chia hết cho 2023! và p > 2023 + 2023! (do có vô hạn số nguyên tố trong dãy số a, a+d, a+2d, a+3d,...).

Tuy nhiên, p chia hết cho 2023! nghĩa là p chia hết cho tất cả các số từ 1 đến 2023. Vì vậy, p cũng chia hết cho 2023. Nhưng điều này mâu thuẫn với giả thiết p > 2023 + 2023!.

Vậy giả thiết ban đầu là sai, tức là tồn tại ít nhất 2023 số hợp số liên tiếp trong dãy số a, a+d, a+2d, a+3d,..., trong đó a = 2023 và d = 2023!.

Tổng quát, ta có nhận định sau: Đối với mọi số tự nhiên k, tồn tại ít nhất k số hợp số liên tiếp.

Chứng minh nhận định này cũng sử dụng Định lý Dirichlet và tương tự như trên.