Cho tam giác ABC, có đường cao AH (H thuộc BC)

Để chứng minh a), ta sẽ sử dụng định lí đường cao trong tam giác vuông.
Vì tam giác ABD và ACE là tam giác vuông cân, nên ta có:
- Góc ABD = 90 độ và AB = BD
- Góc ACE = 90 độ và AC = CE
Vậy tam giác ABD và ACE là tam giác vuông cân.
Do đó, ta có:
- Góc BDA = Góc BAC (do cùng là góc ngoài của tam giác ABC)
- Góc CEA = Góc CAB (do cùng là góc ngoài của tam giác ABC)
- Góc ABD = Góc ACE = 90 độ (theo đề bài)
- AB = BD và AC = CE (theo đề bài)
Vậy, ta có thể kết luận rằng tam giác ABD và ACE là hai tam giác vuông cân đồng dạng với tam giác ABC.
Theo định lí đường cao trong tam giác vuông, ta có:
- Đường cao AH của tam giác ABC chia tam giác vuông ABD thành hai tam giác vuông cân AHB và AHD.
- Đường cao AH của tam giác ABC chia tam giác vuông ACE thành hai tam giác vuông cân AHC và AHE.
Vậy, ta có:
- Góc IDB = Góc HBA (do cùng là góc nội tiếp của tam giác AHB)
- Góc AHD = Góc BAC (do cùng là góc ngoài của tam giác ABC)
- Góc AHC = Góc CAB (do cùng là góc ngoài của tam giác ABC)
- Góc AHE = Góc ACE = 90 độ (theo đề bài)
Vậy, ta có thể kết luận rằng tam giác IDB và HBA là hai tam giác vuông cân đồng dạng với tam giác ABC.
Do đó, ta đã chứng minh được a).

Để chứng minh b), ta sẽ sử dụng định lí đường cao trong tam giác vuông.
Vì tam giác ABD và ACE là tam giác vuông cân, nên ta có:
- Góc ABD = 90 độ và AB = BD
- Góc ACE = 90 độ và AC = CE
Vậy tam giác ABD và ACE là tam giác vuông cân.
Do đó, ta có:
- Góc BDA = Góc BAC (do cùng là góc ngoài của tam giác ABC)
- Góc CEA = Góc CAB (do cùng là góc ngoài của tam giác ABC)
- Góc ABD = Góc ACE = 90 độ (theo đề bài)
- AB = BD và AC = CE (theo đề bài)
Vậy, ta có thể kết luận rằng tam giác ABD và ACE là hai tam giác vuông cân đồng dạng với tam giác ABC.
Theo định lí đường cao trong tam giác vuông, ta có:
- Đường cao AH của tam giác ABC chia tam giác vuông ABD thành hai tam giác vuông cân AHB và AHD.
- Đường cao AH của tam giác ABC chia tam giác vuông ACE thành hai tam giác vuông cân AHC và AHE.
Vậy, ta có:
- Góc HAC = Góc KCE (do cùng là góc nội tiếp của tam giác AHC)
- Góc AHD = Góc BAC (do cùng là góc ngoài của tam giác ABC)
- Góc AHE = Góc ACE = 90 độ (theo đề bài)
Vậy, ta có thể kết luận rằng tam giác HAC và KCE là hai tam giác vuông cân đồng dạng với tam giác ABC.
Do đó, ta đã chứng minh được b).

Để chứng minh c), ta sẽ sử dụng định lí đường cao trong tam giác vuông.
Vì tam giác ABD và ACE là tam giác vuông cân, nên ta có:
- Góc ABD = 90 độ và AB = BD
- Góc ACE = 90 độ và AC = CE
Vậy tam giác ABD và ACE là tam giác vuông cân.
Do đó, ta có:
- Góc BDA = Góc BAC (do cùng là góc ngoài của tam giác ABC)
- Góc CEA = Góc CAB (do cùng là góc ngoài của tam giác ABC)
- Góc ABD = Góc ACE = 90 độ (theo đề bài)
- AB = BD và AC = CE (theo đề bài)
Vậy, ta có thể kết luận rằng tam giác ABD và ACE là hai tam giác vuông cân đồng dạng với tam giác ABC.
Theo định lí đường cao trong tam giác vuông, ta có:
- Đường cao AH của tam giác ABC chia tam giác vuông ABD thành hai tam giác vuông cân AHB và AHD.
- Đường cao AH của tam giác ABC chia tam giác vuông ACE thành hai tam giác vuông cân AHC và AHE.
Vậy, ta có:
- Góc HBA = Góc IDB (do cùng là góc nội tiếp của tam giác AHB)
- Góc KCE = Góc HAC (do cùng là góc nội tiếp của tam giác AHC)
Vậy, ta có thể kết luận rằng BI = CK.
Do đó, ta đã chứng minh được c).