a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Khi đó, ta cần chứng minh IJ cũng vuông góc với AH.

Gọi M là trung điểm của AC. Ta có:

- Vì AD là hình chiếu vuông góc của AH lên AC, nên ta có AD ⊥ AC.
- Vì HD là đường cao của tam giác ABC, nên ta có HD ⊥ BC.
- Vì I là trung điểm của HD, nên ta có IM ⊥ HD.
- Vì J là trung điểm của DC, nên ta có MJ ⊥ DC.

Ta cần chứng minh IJ ⊥ AH. Để chứng minh điều này, ta sẽ chứng minh rằng IJ // BC.

Ta có:

- Vì I là trung điểm của HD, nên ta có HI = ID.
- Vì J là trung điểm của DC, nên ta có CJ = JD.
- Vì M là trung điểm của AC, nên ta có AM = MC.

Do đó, ta có:

HI + CJ = ID + JD = (HI + ID) + (CJ + JD) = HD + DC = HC.

Vậy ta có HI + CJ = HC. Khi đó, theo định lí trung tuyến, ta có IJ // BC.

Từ đó, ta suy ra IJ ⊥ AH.

b) Ta cần chứng minh AI vuông góc với BD.

Gọi E là giao điểm của AI và BD. Ta sẽ chứng minh rằng AE ⊥ BD.

Ta có:

- Vì AD là hình chiếu vuông góc của AH lên AC, nên ta có AD ⊥ AC.
- Vì AE là đường cao của tam giác ABC, nên ta có AE ⊥ BC.
- Vì HD là đường cao của tam giác ABC, nên ta có HD ⊥ BC.

Do đó, ta có AD ⊥ AE ⊥ HD.

Vậy ta có AD ⊥ AE ⊥ HD. Khi đó, theo định lí hình chiếu, ta có AE vuông góc với BD.

Vậy ta đã chứng minh AI vuông góc với BD.