Cho hình vuông ABCD. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của AB và CD. O là giao điểm của AK và DE. Hạ DM vuông góc CE

1. Ta có E là trung điểm của AB và K là trung điểm của CD, suy ra AE = EB và CK = KD.
Vì AE = EB và CK = KD, nên ta có AE = CK.
Ta có DE song song với AB và DE = 1/2 AB (vì E là trung điểm của AB).
Vậy ta có DE = AE = CK.
Mà DE song song với AB, nên DE // AB.
Vậy tứ giác ADKE là hình chữ nhật.
Do ADKE là hình chữ nhật, nên AK song song với DE.
Vậy AM vuông góc KM.

2. Ta có AK // DE và BM là đường chéo của hình chữ nhật ADKE, nên ta có AK cắt BM tại N sao cho AN = NK.
Vì ADKE là hình chữ nhật, nên AD // KE và AD = KE.
Mà DM vuông góc CE, nên DM cắt KE tại M sao cho DM = ME.
Vậy ta có DM = ME và AN = NK.
Ta có AM vuông góc KM (do ADKE là hình chữ nhật), AM = DM (do DM = ME) và AN = NK.
Vậy tam giác ADM cân và góc ANB là góc 90 độ.

3. Gọi G là giao điểm của CF và DE.
Ta có CF là phân giác góc DCE, nên CG // AE và CG = GE.
Vì DE // AB và CG // AE, nên CG // AB.
Vậy ta có tam giác CGB đồng dạng với tam giác AEB.
Do đó, ta có CG/AB = GB/AE.
Vì AE = EB và CG = GE, nên ta có CG/AB = GE/EB = 1/2.
Vậy ta có CG = 1/2 AB.
Mà CF là phân giác góc DCE, nên CF cắt DE tại G sao cho CG = GE.
Vậy ta có CF = CG = 1/2 AB.
Mà EF là phân giác góc DCE, nên EF cắt AD tại F sao cho CF = CE.
Vậy ta có CF = CE = 1/2 AB.
Vậy CF <= 2EF.