Cho tam giác ABC vuông tại A và gọi O là trung điểm BC. Trên tia đối của tia OA lấy N sao cho O là trung điểm của AN

a. Ta có O là trung điểm BC và O là trung điểm AN, suy ra BO = OC và AO = ON. Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB = AC. Từ đó, ta có:
AB = AC = AO + OC = AO + BO = AN + ON = AB + BN
Suy ra BN = 0, tức là N trùng với B. Do đó, tứ giác ABNC là hình chữ nhật.

b. Ta đã chứng minh tứ giác ABNC là hình chữ nhật. Vì O là trung điểm BC và O là trung điểm AN, suy ra BO = OC và AO = ON. Từ đó, ta có:
AB = AC = AO + OC = AO + BO = AN + ON = AB + BN
Suy ra BN = 0, tức là N trùng với B. Do đó, tứ giác ABNC là hình chữ nhật. Vì tứ giác ABNC là hình chữ nhật, nên AB // NC. Từ đó, ta có:
∠ABC = ∠CND (cùng là góc vuông)
∠BAC = ∠DCN (cùng là góc vuông)
Vậy tứ giác ABCD là hình bình hành.

c. Ta có M là trung điểm ID và M là trung điểm AE, suy ra IM = MD và AM = ME. Vì M là trung điểm ID nên IM // AD. Từ đó, ta có:
∠IMD = ∠DAM (cùng là góc vuông)
∠DMI = ∠ADM (cùng là góc vuông)
Vậy tứ giác IMDA là tứ giác điều hòa.

Gọi P là giao điểm của CD và AE. Ta có tứ giác IMDA là tứ giác điều hòa, suy ra (P, I, D, A) = -1. Khi đó, ta có:
(M, I, D, A) = -1
(M, E, Q, A) = -1
Từ đó, ta có:
(M, I, D, A) = (M, E, Q, A)
Suy ra Q là trung điểm của ME, tức là MQ = QE. Vì M là trung điểm AE nên AM = ME, suy ra AE = 3EQ.