Để tam thức f(x) = 2mx^2 - 2mx - 1 nhận giá trị âm với mọi x, ta cần xét điều kiện để tam thức này có đồ thị hướng xuống.

Để đồ thị hướng xuống, ta cần tam thức có hệ số của x^2 là dương và delta (Δ) của tam thức là âm.

Hệ số của x^2 là 2m, vì vậy ta cần 2m > 0, tức m > 0.

Delta (Δ) của tam thức là (-2m)^2 - 4 * 2m * (-1) = 4m^2 + 8m = 4m(m + 2).

Để delta (Δ) âm, ta cần 4m(m + 2) < 0.

Điều này xảy ra khi m < 0 hoặc m > -2.

Vậy, các giá trị nguyên của m để tam thức f(x) = 2mx^2 - 2mx - 1 nhận giá trị âm với mọi x là m < 0 hoặc m > -2.